) Giải hệ phương trình căn bậc hai 4x + 5+ 2x = căn bậc hai 2y + 5 + y

1) Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 3\\y \ge  - \frac{5}{2}\\y + 3 - {x^2} \ge 0\end{array} \right.\].

Phương trình (1) trở thành \(\left( {\sqrt {4x + 5}  - \sqrt {2y + 5} } \right) + \left( {2x - y} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - y} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {2y + 5} }} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 2x\).

Thay vào phương trình (2) ta được

\(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 2 + \sqrt {2x + 3 - {x^2}} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  \Rightarrow \sqrt {2x + 3 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\)

Khi đó \(t = 2 + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\)

Với \(t = 0\) ta được \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 0\left( {vn} \right)\). 

Với \(t = 2\) ta được \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y =  - 2\).

Với \(x = 3 \Rightarrow y = 6\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - 1; - 2} \right)\), \(\left( {3;6} \right)\).   

2) Ta có \(P = \left( {4x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + \left( {\frac{1}{x} + \frac{6}{y}} \right) = \left( {4x + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) + \left( {y + \frac{{36}}{y}} \right) + 2\)  

Mà \(y + \frac{{36}}{y} \ge 2.6\)

\(4x + \frac{2}{{{x^2}}} = 2x + 2x + \frac{2}{{{x^2}}} \ge 3.2\)

Khi đó \(P \ge 20\).

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 1,y = 6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(20\).