Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H 1) Chứng minh rằng góc dah = góc deh (ảnh 1)

a) Vì BD, CE là đường cao nên BDA^=CEA^=90°.

Tứ giác ADHE có

HDA^+HEA^=90°+90°=180°

Nên ADHE nội tiếp đường tròn, suy ra DAH^=DEH^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE

Vậy DAH^=DEH^.

2)Tam giác ADE vuông tại D có DM là trung tuyến (là trung điểm AH), suy ra MD=MA=MH=AH2.

Tương tự ME=MA=MH=AH2.

Suy ra MD = MA = MH = ME nên tam giác MAD cân tại M suy ra MDA^=MAD^.

Tương tự ODC^=OCD^. Do đó: MDA^+ODC^=MAD^+OCD^=90°. Suy ra MDO^=90°.

Tương tự, ta chứng minh được MEO^=90°.

Tứ giác MDOE có MDO^+MEO^=90°+90°=180° nên tứ giác MDOE nội tiếp đường tròn.

3)Ta có AH2=2Mπ⋅AF+HF

⇔AH2−2MK⋅AH+HF+HF (1)⇔4MH2−2MK⋅2HM+2HF⇔MH2−MK⋅HM+MK⋅HF⇔MH2−MK⋅HM−MK⋅HF⇔MH⋅MH−MK=MK⋅HF⇔MH⋅HK=MK⋅HF

ΔDKM∽ ΔFDM suy ra MKMD=DKDH(2)

Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Giải hệ phương trình: 3x y 5 2x 5y 12