a)

$Từ (1) và (5) suy ra: \(HF = CK \cdot \cos \widehat {ABK (ảnh 1)$

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {B\,} = 52^\circ \) suy ra \(\widehat {C\,} = 90^\circ - \widehat {B\,} = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ \).

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AC = AB \cdot \tan B = 6 \cdot \tan 52^\circ \approx 7,679 \approx 7,7\) (cm).

\(BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{6}{{\cos 52^\circ }} \approx 9,745 \approx 9,7\) (cm).

b) ⦁ Chứng minh \(AQ \cdot AC = A{H^2}\)

Xét \({\rm{\Delta }}AQH\) và \({\rm{\Delta }}AHC\):

\(\widehat {AQH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(HQ \bot AC\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAC}\) là góc chung (tức \(\widehat {HAQ} = \widehat {CAH}\)).

Do đó, $Δ A Q H ∽ Δ A H C$ .

Suy ra \(\frac{{AQ}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(A{H^2} = AQ \cdot AC\) (1).

⦁ Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ A Q N$ :

Xét \({\rm{\Delta }}ANH\) và \({\rm{\Delta }}AHB\) có:

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AB\) và \(AH \bot BC\));

\(\widehat {HAB}\) là góc chung (tức \(\widehat {HAN} = \widehat {BAH}\)).

Do đó, $Δ A N H ∽ Δ A H B$ .

Suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AN \cdot AB = A{H^2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AQ \cdot AC = AN \cdot AB\) suy ra \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}ABC\) và \({\rm{\Delta }}AQN\) có:

\(\widehat {A\,\,}\) là góc chung (tức \(\widehat {QAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ \));

\(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Do đó, $Δ A B C ∽ Δ A Q N$ (c.g.c).

c)

$Từ (1) và (5) suy ra: \(HF = CK \cdot \cos \widehat {ABK (ảnh 2)$

Trong \({\rm{\Delta }}ABF\) vuông tại \(F\) có: \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BF}}{{AB}}\).

Trong \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Do đó:

\(VP = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC} = CK \cdot \frac{{BF}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}\) (1).

Trong \({\rm{\Delta }}ABH\) vuông tại \(H\) có: \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABC}\).

Trong \({\rm{\Delta }}ABK\) vuông tại \(A\) có: \(BK = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}\).

Do đó, \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABC}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABK}}}}} = \cos \widehat {ABC} \cdot \cos \widehat {ABK}\) (3).

\(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot \cos \widehat {ABK}}}{{\frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABC}}}}} = \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}BHF\) và \({\rm{\Delta }}BKC{\rm{\;}}\) có \(\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) và \(\widehat {KBC}\) là góc chung.

Suy ra $Δ B H F ∽ Δ B K C$ (c.g.c).

Do đó, \(\frac{{HF}}{{CK}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) suy ra \(HF = \frac{{CK \cdot BF}}{{BC}}\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra: \(HF = CK \cdot \cos \widehat {ABK} \cdot \cos \widehat {ABC}\) (đpcm).

Giải hệ phương trình: (3x + 1)/(2y − 3) = −1; 5, (2y − 1) − 3(x + 2y) = 0