Giải hệ phương trình 2 + 3x = 8/y^3 x^3 - 2= 6/ y

Điều kiện: y ¹0.

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(2 = \frac{8}{{{{\rm{y}}^3}}} - 3{\rm{x}}\).

Từ phương trình thứ hai ta có: \({{\rm{x}}^3} - \frac{6}{{\rm{y}}} = 2\), suy ra \({{\rm{x}}^3} - \frac{6}{{\rm{y}}} = \frac{8}{{{{\rm{y}}^3}}} - 3{\rm{x}}\).

\({{\rm{x}}^3} - {\left( {\frac{2}{{\rm{y}}}} \right)^3} - \frac{6}{{\rm{y}}} + 3{\rm{x}} = 0\)

\(\left( {{\rm{x}} - \frac{2}{{\rm{y}}}} \right)\left( {{{\rm{x}}^2} + \frac{{{\rm{2x}}}}{{\rm{y}}} + \frac{4}{{{{\rm{y}}^2}}}} \right) + 3\left( {{\rm{x}} - \frac{2}{{\rm{y}}}} \right) = 0\)

\(\left( {{\rm{x}} - \frac{2}{{\rm{y}}}} \right)\left( {{{\rm{x}}^2} + \frac{{{\rm{2x}}}}{{\rm{y}}} + \frac{4}{{{{\rm{y}}^2}}} + 3} \right) = 0\)

\({\rm{x}} - \frac{2}{{\rm{y}}} = 0\) (do \({{\rm{x}}^2} + \frac{{{\rm{2x}}}}{{\rm{y}}} + \frac{4}{{{{\rm{y}}^2}}} + 3 > 0\) với mọi x, và y ¹ 0).

\({\rm{x}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\).

Thay \({\rm{x}} = \frac{2}{{\rm{y}}}\) vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

2 + 3x = x³

x³ – 3x – 2 = 0

x³ + 1 – 3x – 3 = 0

(x + 1)(x² – x + 1) – 3(x + 1) = 0

(x + 1)(x² – x – 2) = 0

(x +1)(x – 1)(x + 2) = 0

x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0 hoặc x + 2 = 0

x = –1 hoặc x = 1 hoặc x = –2.

Với x = –1 thì y = \(\frac{2}{{ - 1}} = - 2\) (thỏa mãn).

Với x = –2 thì y = \(\frac{2}{{ - 2}} = - 1\) (thỏa mãn).

Với x = 1 thì y = \(\frac{2}{1} = 2\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–1; –2); (–2; –1); (1; 2).