Giải hệ phương tình: y^2=x^3-x^2 2x và x^2=y^3-3y^2 2y

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\,\,\,\,(1)\\{x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Lấy (1) – (2) ta được:

\[\begin{array}{l}{y^2} - {x^2} = {x^3} - {y^3} - 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - {y^3} - 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy - 2x - 2y + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2xy - 4x - 4y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 4\left( {x + y} \right) + 4 + {x^2} + {y^2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x + y - 2} \right)}^2} + {x^2} + {y^2}} \right] = 0\end{array}\]

TH1: \(x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x\\{x^3} - 4{x^2} + 2x = 0\\x\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \[{x^2} + {y^2} + xy - 2x - 2y + 2\] = 0, phương trình vô nghiệm

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {2 - \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 } \right);\left( {2 + \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right)\)