Giải hệ bất phương trình bằng cách vẽ miền nghiệm: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, 3x + y ≤ 9.

Vẽ các đường thẳng ranh giới trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

Trục \(Ox:y = 0\) và trục \(Oy:x = 0\).

Đường thẳng \({d_1}:x + y = 6\) đi qua \(\left( {0;6} \right)\) và \(\left( {6;0} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:3x + y = 9\) đi qua \(\left( {0;9} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).

Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình:

\(x \ge 0\): Nửa mặt phẳng bên phải trục \(Oy\).

\(y \ge 0\): Nửa mặt phẳng bên trên trục \(Ox\).

\(x + y \le 6\): Thử điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(0 + 0 = 0 \le 6\) (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O\).

\(3x + y \le 9\): Thử điểm \(O\left( {0;0} \right)\), ta có \(3 \cdot 0 + 0 = 0 \le 9\) (đúng), miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O\).

Miền nghiệm của hệ:

Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(OABC\) (bao gồm cả các cạnh), với tọa độ các đỉnh:

\(O\left( {0;0} \right)\)

\(A\left( {3;0} \right)\) (giao điểm của \({d_2}\) với \(Ox\))

\(B\left( {1,5;4,5} \right)\) (nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 6}\\{3x + y = 9}\end{array}} \right.\))

\(C\left( {0;6} \right)\) (giao điểm của \({d_1}\) với \(Oy\)).