Giải hệ bất phương trình bằng cách vẽ miền nghiệm: −2x + y ≤ 2 ; −x + 2y ≤ 4; x + y ≤ 5; y ≥ 0.

Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

\({d_1}: - 2x + y = 2\) đi qua điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

\({d_2}: - x + 2y = 4\) đi qua điểm \(\left( { - 4;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

\({d_3}:x + y = 5\) đi qua điểm \(\left( {5;0} \right)\) và \(\left( {0;5} \right)\).

\({d_4}:y = 0\) (trục hoành \(Ox\)).

Xác định nửa mặt phẳng nghiệm cho từng bất phương trình:

Thử gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\):

\( - 2 \cdot 0 + 0 = 0 \le 2\) (Đúng) nên miền nghiệm chứa \(O\left( {0;0} \right)\).

\( - 0 + 2 \cdot 0 = 0 \le 4\) (Đúng) nên miền nghiệm chứa \(O\left( {0;0} \right)\).

\(0 + 0 = 0 \le 5\) (Đúng) nên miền nghiệm chứa \(O\left( {0;0} \right)\).

\(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục \(Ox\).

Tọa độ giao điểm của các đường giới hạn:

Giao điểm của \({d_1}\) và \({d_4}\): \(M\left( { - 1;0} \right)\).

Giao điểm của \({d_3}\) và \({d_4}\): \(N\left( {5;0} \right)\).

Giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\): Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + y = 2}\\{ - x + 2y = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow P\left( {0;2} \right)\).

Giao điểm của \({d_2}\) và \({d_3}\): Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 2y = 4}\\{x + y = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( {2;3} \right)\).

Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(MNQP\) (bao gồm cả biên) với tọa độ các đỉnh là \(M\left( { - 1;0} \right)\), \(N\left( {5;0} \right)\), \(Q\left( {2;3} \right)\), \(P\left( {0;2} \right)\).