Giải các phương trình sau: a) sin^2 (3 x) − sin 3 x − 2 = 0 ; b) sin x + √ 3 cos x = 1 ;
Hướng dẫn giải:
a) \({\sin ^2}3x - \sin 3x - 2 = 0\) (1)
Đặt \(\sin 3x = t\), vì \( - 1 \le \sin 3x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\).
Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 2\left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \sin 3x = - 1 \Leftrightarrow 3x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) \[\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\]
\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\]
Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) \(\tan x + \cot x = 2\)(2)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = 2 \Rightarrow {\tan ^2}x + 1 = 2\tan x\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) (t/m điều kiện)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).