Giải các phương trình sau: a) sin 3 x + cos ( π /3 − x ) = 0 ;

31/33

III. Hướng dẫn giải tự luận

Giải các phương trình sau:

a) $\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0$;

b) ${\cos ^2}x = \frac{1}{2}$;

c) $\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải:

a) $\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow - \sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$

$ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3} - x = \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \\\frac{\pi }{3} - x = - \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - \frac{\pi }{{24}} - \frac{{k\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) ${\cos ^2}x = \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

$ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) $\cos 3x + \cos 2x + \cos x + 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \left( {\cos 2x + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + 2{\cos ^2}x = 0$

$ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow 4\cos x.\cos \frac{{3x}}{2}.\cos \frac{x}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos \frac{{3x}}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} = 0\end{array} \right.$

TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

TH2: $\cos \frac{{3x}}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + m\pi ,m \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}$.

TH3: $\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + n\pi ,n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}$.

Kết hợp 3 nghiệm của 3 phương trình trên vòng tròn lượng giác như sau:

$Giải các phương trình sau: a) $\sin 3x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0$; (ảnh 1)$

Nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm $B,\,\,B'$.

Nghiệm $\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi các điểm ${B_1},{B_2},{B_3}$.

Nghiệm $\pi + 2n\pi ,n \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi điểm ${B_2}$.

$ \Rightarrow $phương trình đã cho có các nghiệm $x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $\frac{\pi }{3} + \frac{{2m\pi }}{3},m \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3};k \in \mathbb{Z}} \right\}$.