Giải các phương trình lượng giác: a) 4 sin 2 x − 12 cos x − 9 = 0 ;

a) \(4{\sin ^2}x - 12\cos x - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 12{\rm{cos}}x + 5 = 0\)

Đặt \(\cos x = t,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khi đó phương trình trở thành

\(4{t^2} + 12t + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1}}{2}\left( {tm} \right)\\t = - \frac{5}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = - \frac{1}{2}\) ta có cosx=−12 ⇔x=±2π3+k2π   k∈ℤ

b) \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x{\rm{\;\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Xét \({\rm{cos}}x = 0\) suy ra \({\sin ^2}x = 1\), thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta được

\(3{\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow 3 = 0\) (vô lí).

Khi đó \({\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow 3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{tan}}x - \sqrt 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\tan x = - 1}\\{\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).