Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a)Giải các phương trình, hệ phương trình

\(a){\left( {x - \sqrt 3 } \right)^3} + {\left( {x + \sqrt 5 } \right)^3}\)+\({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 - 2x} \right)^3}\)=0

Đặt \({\rm{u}} = {\rm{x}} - \sqrt 3 ,{\rm{\;v}} = {\rm{x}} + \sqrt 5 \), khi đó \(\sqrt 3 - \sqrt 5 - 2{\rm{x}} = - \left( {{\rm{u}} + {\rm{v}}} \right)\)

PTCĐ viết lại là:\({{\rm{u}}^3} + {{\rm{v}}^3} - {\left( {{\rm{u}} + {\rm{v}}} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{\rm{u}} + {\rm{v}}} \right){\rm{uv}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{u + v = 0}\\{u = 0}\\{v = 0}\end{array}} \right.\)

(1):\({\rm{u}} + {\rm{v}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} - \sqrt 3 + {\rm{x}} + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{2}\)

(2):u = 0 \( \Leftrightarrow {\rm{x}} = \sqrt 3 \); (3):\({\rm{v}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - \sqrt 5 \)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{2};\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right.\)}

Cách 2: Đặt \({\rm{a}} = {\rm{x}} - \sqrt 3 + {\rm{x}} + \sqrt 5 \), c=\(\sqrt 3 - \sqrt 5 - 2{\rm{x}}\). Khi đó:

\({{\rm{a}}^3} + {{\rm{b}}^3} + {{\rm{c}}^3} = 3{\rm{abc}}\)( chứng minh). Từ đó ta có nghiệm như cách 1

b)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\rm{xy}}} \right)}^3} + 3{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} + 2 = 6{{\rm{y}}^{2{\rm{\;\;\;\;\;}}}}\left( 1 \right)}\\{3{\rm{x}}{{\rm{y}}^3} = {{\rm{y}}^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = xy}\\{v = {y^2}}\end{array}} \right.\) . Dễ thấy y\( \ne 0.\) Từ(2) suy ra 3\(xy = \frac{{{y^2} + 2}}{{{y^2}}} > 0,\) do đó ta luôn có u\( > 0,{\rm{v}} > 0\left( 3 \right)\)

Ta có hệ phương trình mới:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}^3} + 3uv + 2 = 6v\;\left( 4 \right)}\\{3uv = v + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 5 \right)\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Thế (5) và (4) ta được:\(v = \frac{{{{\rm{u}}^3} + 4}}{5}\) (6)

Thế (6) vào (5) ta được:

\(3{{\rm{u}}^4} - {{\rm{u}}^3} + 12{\rm{u}} - 14 = 0 \Leftrightarrow \left( {{\rm{u}} - 1} \right)(3{{\rm{u}}^3} + 2{{\rm{u}}^2}\)+\(2{\rm{u}} + 14) = 0\)(7)

Đối chiếu với điều kiện(3) thì 3\({u^3} + 2{u^2} + 2u + 14 > 0\) nên(7) có nghiệm \({\rm{u}} = 1\)

Với \({\rm{u}} = 1\), từ (6) suy ra \({\rm{v}} = 1\) hay \({{\rm{y}}^2} = 1 \Leftrightarrow {\rm{y}} = \pm 1 \Rightarrow {\rm{x}} = \pm 1{\rm{\;}}\).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: \(\left( {{\rm{x}};{\rm{y}}} \right) = \left( {1;1} \right)\) và \(\left( {{\rm{x}};{\rm{y}}} \right) = \left( { - 1; - 1} \right)\)