Gọi chiều dài của thang là đoạn (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Pythagore ta có:

\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\) cm.

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \);

\(\widehat {B\,}\) là góc chung.

Do đó, $Δ A H B ∽ Δ C A B$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{CB}}\) suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{9 \cdot 12}}{{15}} = 7,2\) cm.

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = 0,8\) suy ra \(\widehat {ABC} \approx 53^\circ 8'\).

b) Xét \({\rm{\Delta }}AHC\) và \({\rm{\Delta }}BAC\) có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {C\,}\) là góc chung.

Do đó, $Δ A H C ∽ Δ B A C$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) suy ra \(A{C^2} = CH \cdot CB\).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B\).

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\), áp dụng hệ thức cạnh và góc ta có:

\(AH = AC \cdot \sin C\).

Từ đó suy ra \(AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C\).

c)

Gọi chiều dài của thang là đoạn (ảnh 2)

Do \(AH \bot BC\) nên góc \(\widehat {AHB} = 90^\circ \).

Vì \(HD\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AHB}\) nên \(\widehat {AHD} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \).

Xét \(\Delta HED\) vuông tại \(E\), có \(\widehat {EHD} = 45^\circ \) nên \(\Delta HED\) vuông cân tại \(E\).

Suy ra \(ED = EH\) và \(DH = \sqrt {E{D^2} + E{H^2}} = ED\sqrt 2 \) suy ra \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Ta có đường thẳng \(DE \bot AH\) và đường thẳng \(BH \bot AH\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,BH\).

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác \(ABH\) với \(DE\,{\rm{//}}\,BH\) ta có: \(\frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AE}}{{AH}}\).

Mặt khác, do \(DE = EH\) nên: \(\frac{{DE}}{{AH}} = \frac{{EH}}{{AH}}\).

Cộng từng vế hai đẳng thức ta được:

\(\frac{{DE}}{{AH}} + \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{EH}}{{AH}} + \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AH}} = 1\).

Chia cả hai vế cho \(DE\) ta được: \(\frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}} = \frac{1}{{ED}}\).

Do đó: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AH}} + \frac{1}{{BH}}\) (1).

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

\(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(AH = AB \cdot \cos \widehat {BAH}\).

\(\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}}\) suy ra \(BH = AB \cdot \cos \widehat {ABH}\).

Thay vào (1) ta được: \(\frac{{\sqrt 2 }}{{DH}} = \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {BAH}}} + \frac{1}{{AB \cdot \cos \widehat {ABH}}}\).

Giải các hệ phương trình sau: a) { x − y = 3; 3x − 4y = 2 .