Thể tích chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp là:

\(V = {x^2}h = 4000\) suy ra \(h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}\) (với \({\rm{\;}}x > 0,\,\,h > 0\)).

Diện tích tấm bìa các-tông dùng để làm hộp là tổng diện tích một đáy hình vuông và bốn mặt bên:

\(S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x} = {x^2} + \frac{{8000}}{x} + \frac{{8000}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \({x^2},\,\,\frac{{8000}}{x},\,\,\frac{{8000}}{x}\):

\(S \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \frac{{8000}}{x} \cdot \frac{{8000}}{x}}} = 3 \cdot \sqrt[3]{{64000000}} = 3 \cdot 400 = 1200\) (cm²).

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

\({x^2} = \frac{{8000}}{x}\) suy ra \({x^3} = 8000\) suy ra \(x = 20\) (cm) (thỏa mãn).

Khi đó chiều cao \(h = \frac{{4000}}{{{{20}^2}}} = 10\) (cm) (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh đáy \(x\) để diện tích tấm bìa nhỏ nhất là \(x = 20\) cm.

*Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương \(a,b,c > 0\):

\(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\) suy ra \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Chứng minh:

Đặt \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\), \(z = \sqrt[3]{c}\). Vì \(a,\,\,b,\,\,c > 0\) nên \(x,\,\,y,\,\,z > 0\).

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

Xét biểu thức \(P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz\):

\(P = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz\)

\(P = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right)\)

\(P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

Nhân thêm 2 vào trong ngoặc để tạo thành tổng các bình phương:

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]\)

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]\)

Vì \(x,\,\,y,\,\,z > 0\) nên \(x + y + z > 0\).

Các bình phương \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {y - z} \right)^2} \ge 0\), \({\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y,\,\,z\).

Do đó:

\(P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

Suy ra \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0\) suy ra \({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\).

Thay lại \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\), \(z = \sqrt[3]{c}\), ta được:

\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) suy ra \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}\).

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \(x - y = y - z = z - x = 0\) suy ra \(x = y = z\) hay \(a = b = c\).

Giải các hệ phương trình sau: 3x − 2y = 11 ; 4x + y = 11 .