Giải các bất phương trình bậc hai: a) x^2 – 1 ≥ 0; b) x^2 – 2x – 1 < 0; c) – 3x^2 + 12x + 1 ≤ 0;

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f(x) = x² – 1 có ∆ = 0² – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 1.

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞                  – 1                      1                     + ∞
f(x)	+           0           –          0            +

 

Tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞).

b) Tam thức f(x) = x² – 2x – 1 có ∆' = (– 1)² – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = 1 \( - \sqrt 2 \) và x₂ = 1 + \(\sqrt 2 \).

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞                1 \( - \sqrt 2 \)                   1 + \[\sqrt 2 \]                     + ∞
f(x)	+            0             –            0                +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 1−2; 1+2

c) Tam thức f(x) = – 3x² + 12x + 1 có ∆' = 6² – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}\) và \({x_2} = \frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}\).

Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

x	– ∞                \(\frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}\)                   \(\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}\)                  + ∞
f(x)	–             0              +             0                –

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - \infty ;\frac{{6 - \sqrt {39} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + \sqrt {39} }}{3}; + \infty } \right)\).

d) Tam thức f(x) = 5x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}\).