Giải bất phương trình {\log _2}( {3x - 2} > {\log _2}( {6 - 5x} được tập nghiệm

4/43

Giải bất phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\) được tập nghiệm là \(\left( {a;b} \right)\). Hãy tính tổng \(S = a + b\).

\(S = \frac{{26}}{5}\).

\(S = \frac{{11}}{5}\).

\(S = \frac{{28}}{{15}}\).

\(S = \frac{8}{3}\).

Giải thích

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}.\)

Ta có: \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)\)\( \Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x \Leftrightarrow 8x > 8 \Leftrightarrow x > 1.\)

Kết hợp với điều kiện, ta được \(1 < x < \frac{6}{5}.\)

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {1;\frac{6}{5}} \right).\)Từ đó, \(S = a + b = 1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}.\)

Lời giải ngắn gọn như sau:

\({\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 6 - 5x\\6 - 5x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \frac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{6}{5}.\)Chọn B.