Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ( x − 3 )^ 2 e^ x trên đoạn [ 0 ; 2 ] bằng

Chọn D

Hàm số \[y = {\left( {x - 3} \right)^2}{e^x}\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\].

Ta có \[y' = 2\left( {x - 3} \right){e^x} + {\left( {x - 3} \right)^2}{e^x} = {e^x}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\].

Khi đó \[y' = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1{\rm{ }} \in \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\]

Do đó \[y\left( 0 \right) = 9\]; \[y\left( 1 \right) = 4e\]; \[y\left( 2 \right) = {e^2}\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {\left( {x - 3} \right)^2}{e^x}\] trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\] bằng \[y\left( 1 \right) = 4e\].