Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 3 cot^2 2x − √ 3 ( 1 − tan 2 x ) tan x thuộc khoảng nào sau đây?

8/26

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - {{\tan }^2}x} \right)}}{{\tan x}}$ thuộc khoảng nào sau đây?

$\left( { - \,\sqrt 2 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).$

$\left( { - \frac{1}{2};0} \right).$

$\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right).$

$\left( { - \,\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).$

Giải thích

Chọn A

$f\left( x \right) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - {{\tan }^2}x} \right)}}{{\tan x}} = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}}$, $\sin x \ne 0;\cos x \ne 0$.

$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{\cot ^2}2x - \frac{{\sqrt 3 \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = 3{\cot ^2}2x - \frac{{2\sqrt 3 \cos 2x}}{{2\sin x.\cos x}} = 3{\cot ^2}x - 2\sqrt 3 \cot 2x$.

Đặt $\cot 2x = t$, $t \in \mathbb{R}$, hàm số trở thành $ \Leftrightarrow f\left( t \right) = 3{t^2} - 2\sqrt 3 t$.

Bảng biến thiên:

$Chọn D Ta có \(0 \le 3{\sin ^2}x \le 3 \ (ảnh 1)$

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $ - 1$. Do đó chọn A.