Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại (ảnh 1)

Ta mô hình hóa bài toán đã cho như hình trên với \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên bờ dọc \(BD\) và bờ ngang \(CD\). Khi đó, theo bài ra có \(AH = 12\,\,{\rm{m}},\,\,AK = 5\,\,{\rm{m}}\).

Suy ra \(DK = AH = 12\,\,{\rm{m}},\,\,DH = AK = 5\,\,{\rm{m}}\).

Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {{\rm{m}},\,x > 0} \right)\).

Ta có \(AH\,{\rm{//}}\,BC,\,\,AK\,{\rm{//}}\,DH\) nên \(\frac{{BH}}{{HD}} = \frac{{BA}}{{AC}} = \frac{{DK}}{{KC}}\).

Suy ra \(KC = \frac{{HD \cdot DK}}{{BH}} = \frac{{5 \cdot 12}}{x} = \frac{{60}}{x}\) (m).

Diện tích khu nuôi cá riêng là:

\(S = \frac{1}{2}BD \cdot DC = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\) (m²).

Xét hàm số \(S\left( x \right) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(S'\left( x \right) = 6 - \frac{{150}}{{{x^2}}} = \frac{{6{x^2} - 150}}{{{x^2}}}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5\).

Bảng biến thiên của hàm số \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) như sau:

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( x \right) = 120\) tại \(x = 5\).

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng dưới là \(120\) m².

Ngoài ra, ta có thể dùng bất đẳng thức:

\[S = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 \ge 2\sqrt {6x \cdot \frac{{150}}{x}} + 60 = 120\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(6x = \frac{{150}}{x} \Leftrightarrow x = 5 \in \left( {0;\, + \infty } \right)\).

Đáp số: \(120\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-2;0]