Giá trị nhỏ nhất của đoạn M C bằng

\(M\) là điểm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thỏa mãn \(MA + MB = 2\sqrt {34} \) và \(AB = 6\).

Suy ra \(M \in \left( E \right)\) có phương trình \[\frac{{{x^2}}}{{34}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\].

 

Gọi \(C'\)là hình chiếu của \(C\left( {0\,;\,5\,;\,1} \right)\) lên \(Oy\) suy ra \(C'\left( {0\,;\,5\,;\,0} \right)\).

Khi đó \(M{C^2} = M{C'^2} + C{C'^2} = M{C'^2} + 1\), do đó MCmin⇔MC2min⇔MC'min2

Ta có \[M{C'^2} = x_0^2 + {\left( {5 - {y_0}} \right)^2} = 34\left( {1 - \frac{{y_0^2}}{{25}}} \right) + {\left( {5 - {y_0}} \right)^2} = f\left( {{y_0}} \right)\,,\,{y_0} \in \left[ { - 5\,;\,5} \right]\].

\[f'\left( {{y_0}} \right) = - \frac{{18}}{{25}}{y_0} - 10\];\(f'\left( {{y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{ - 125}}{9} \notin \left[ { - 5\,;\,5} \right]\).

Hàm số \[f\left( {{y_0}} \right)\] nghịch biến trên \[\left[ { - 5\,;\,5} \right]\], suy ra \[\mathop {min}\limits_{\left[ { - 4\,;\,4} \right]} f\left( {{y_0}} \right) = f\left( 5 \right) = 0\].

Do đó ta có \[\mathop {M{{C'}^2}_{\min }}\limits_{\left[ { - 5;5} \right]} = f\left( 5 \right) = 0\], suy ra \(M{C_{\min }} = 1\). Chọn C.