Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}-x + 1}}\] là

Đáp án đúng là: C

Ta có x² – x + 1 = \[{\left( {x-\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\], do đó P luôn xác định với mọi x.

\[P = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}-x + 1}}\] ⇔ (P – 1)x² – Px + P – 1 = 0 (*)

Với P = 1 thì x = 0.

Với P ≠ 1, ta có Δ = P² – 4(P – 1)² = –3P² + 8P – 4

Để phương trình (*) có nghiệm thì Δ ≥ 0 ⇔ P ≥ \(\frac{2}{3}\) (1) hoặc P ≤ 2 (2)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x = –1.

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{2}{3}\) khi x = –1.