Hướng dẫn giải

a) \[C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\,\left( {n \in N,\,n \ge 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6}\]

\[ \Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{6}\]

\[ \Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\\n = 12\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Vậy \[n = 12\] là giá trị cần tìm.

b) Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) theo thứ tự không giảm, ta được:

15,5 25 25,1 25,2 25,3 25,4 25,4 25,5 25,5 25,6

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = \frac{{25,3 + 25,4}}{2} = 25,35\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 15,5 25 25,1 25,2 25,3.

Do đó, \({Q_1} = 25,1\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 25,4 25,4 25,5 25,5 25,6.

Do đó, \({Q_3} = 25,5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 25,5 - 25,1 = 0,4\).

Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 25,1 - 1,5 \cdot 0,4 = 24,5\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 25,5 + 1,5 \cdot 0,4 = 26,1\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 15,5 < 24,5.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) có giá trị bất thường là 15,5 rơi vào ngày thứ 4.

• Sắp xếp mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) theo thứ tự không giảm, ta được:

27 27,4 27,8 28,6 28,8 28,8 28,8 29 29,2 48,2

Vì mẫu số liệu gồm 10 số liệu (là số chẵn) nên trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của hai số chính giữa, là số ở vị trí thứ 5 và thứ 6. Do đó, trung vị của mẫu số liệu hay tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q'_2} = \frac{{28,8 + 28,8}}{2} = 28,8\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy: 27 27,4 27,8 28,6 28,8.

Do đó, \({Q'_1} = 27,8\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy: 28,8 28,8 29 29,2 48,2.

Do đó, \({Q'_3} = 29\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta '_Q} = {Q'_3} - {Q'_1} = 29 - 27,8 = 1,2\).

Ta có: \({Q'_1} - 1,5{\Delta '_Q} = 27,8 - 1,5 \cdot 1,2 = 26\); \({Q'_3} + 1,5{\Delta '_Q} = 29 + 1,5 \cdot 1,2 = 30,8\).

Trong mẫu số liệu đã cho có giá trị 48,2 > 30,8.

Do đó, mẫu số liệu mã cổ phiếu \(N\) có giá trị bất thường là 48,2 rơi vào ngày thứ 4.

Vậy ta kiểm tra được giá trị bất thường rơi vào ngày thứ 4.

Khi bỏ đi ngày có giá trị bất thường, ta có bảng sau:

Ngày	1	2	3	5	6	7	8	9	10
\(M\)	25	25,1	25,3	25,6	25,5	25,4	25,5	25,4	25,2
\(N\)	27	27,4	27,8	29	28,8	28,8	28,8	28,6	29,2

So sánh phương sai mẫu số liệu mã cổ phiếu \(M\) và \(N\) để kiểm tra tính ổn định của mẫu.

Số trung bình của mẫu số liệu \(M\) là:

\(\overline {{X_M}} = \frac{{\,25\;\, + 25,1\;\, + \;25,2\; + \;25,3\; + \;25,4\; + \;25,4\; + 25,5\; + \;25,5\; + \;25,6}}{9} = \frac{{76}}{3}\).

Phương sai mẫu số liệu \(M\) là:

\(s_M^2 = \frac{{{{\left( {25 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {25,1 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2} + ... + {{\left( {25,6 - \frac{{76}}{3}} \right)}^2}}}{9} \approx 0,04\).

Số trung bình của mẫu số liệu \(N\) là:

\(\overline {X{ & _N}} = \frac{{27\; + \;27,4\; + \;27,8\; + \;28,6\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;28,8\; + \;29\; + \;29,2}}{9} \approx 28,38\).

Phương sai mẫu số liệu \(N\) là:

\(s_N^2 = \frac{{{{\left( {27 - 28,38} \right)}^2} + {{\left( {27,4 - 28,38} \right)}^2} + ... + {{\left( {29,2 - 28,38} \right)}^2}}}{9} \approx 0,54\).

Vì 0,54 > 0,04 nên \(s_N^2 > s_M^2\), do đó giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).

Vậy sau khi bỏ đi giá cổ phiếu của ngày thứ 4 rồi so sánh phương sai mẫu, ta thấy giá của mã cổ phiếu \(M\) ổn định hơn giá của mã cổ phiếu \(N\).

Tiền lương (triệu đồng)	5	6	7	8	9	9,5
Tần số	26	34	20	10	5	5

Giá trị mốt của mẫu số liệu trên là