Giá trị m để bất phương trình –2x2 + 2(m – 2)x + m – 2 < 0 có nghiệm là

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình –2x² + 2(m – 2)x + m – 2 < 0

Đặt f(x) = –2x² + 2(m – 2)x + m – 2.

f(x) có ∆’ = (m – 2)² – (–2).(m – 2) = m² – 2m và hệ số a = –2 < 0.

Trường hợp 1. Xét ∆’ < 0. Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Trường hợp 2. Xét ∆’ = 0. Ta có f(x) = 0 \[ \Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2\left( {m - 2} \right)}}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{{m - 2}}{2}.\]

Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne \frac{{m - 2}}{2}.\)

Trường hợp 3. Xét ∆’ > 0.

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂.

Khi đó bất phương trình f(x) < 0 có nghiệm x ∈ (–∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).

Cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi m ∈ ℝ.