Giá trị lớn nhất của hàm số y = - x^3 + 3x + 1 trên khoảng (0; + vô cùng) bằng

Xét hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1{\rm{\;(do\;}}x \in \left( {0; + \infty } \right){\rm{)}}\).

Với \(x \in \left( {0;1} \right)\), \(y' > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến.

Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(y' < 0 \Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) và \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot 1 + 1 = 3\).

Chọn D.