Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = 2 sin x − 4 / 3 sin ^ 3 x trên [ 0 ; π ] bằng a b √ c với a , b , c ∈ N ∗ , b < 6 , c là một số nguyên tố. Giá trị của a + b + c là bao nhiêu?

Đáp số: 7.

Đặt \(t = \sin {\rm{x}},{\rm{t}} \in [0;1].\) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{g}}({\rm{t}}) = 2{\rm{t}} - \frac{4}{3}{{\rm{t}}^3}\quad \) trên \([0;1].\quad {{\rm{g}}^\prime }({\rm{t}}) = 2 - 4{{\rm{t}}^2},\;{{\rm{g}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad (\) vì \({\rm{t}} \ge 0).\)\({\rm{g}}(0) = 0;{\rm{g}}(1) = \frac{2}{3};{\rm{g}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) Giá trị lớn nhất của \({\rm{f}}({\rm{x}})\) là \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Suy ra \({\rm{a}} = 2,\;{\rm{b}} = 3,{\rm{c}} = 2\) và \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = 7.\)