Giá trị lớn nhất của biểu thứcF (x;y) = x + 2y, với điều kiện 0 nhỏ hơn hoặc bằng y nhỏ hơn hoặc bằng 4, x lớn hơn hoặc bằng 0, x - y - 1 nhỏ hơn hoặc bằng 0, x + 2y - 10 nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Vẽ các đường thẳng

\({d_1}:y = 4\);

\({d_2}:x - y - 1 = 0\); \({d_3}:x + 2y - 10 = 0\);

\(Ox:y = 0;{\rm{  }}Oy:x = 0\).

Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại \(A\left( {0;4} \right),O\left( {0;0} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {4;3} \right),D(2;4)\)Vì điểm \({M_0}\left( {1;1} \right)\)có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ \({d_1},{d_2},{d_3},Ox,Oy\) không chứa điểm \({M_0}\). Miền không bị tô đậm là đa giác \(OADCB\)kể cả các cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho.

Kí hiệu \(F(A) = F\left( {{x_A};{y_A}} \right) = {x_A} + 2{y_A}\), ta có

\(F(A) = 8,\)\(F(O) = 0,\)\[F(B) = 1,\]\[F(C) = 10;\]\[F(D) = 10\],\(0 < 1 < 8 < 10\).

Giá trị lớn nhất cần tìm là \(10\).