Giá trị lim x→2 (căn bậc hai của (4x + 1) + 5 - 4x/(2 - x) = a/b với a/b là phân số tối giản, a, b ∈ N. Khi đó, tổng a + b bằng bao nhiêu?

Ta có dạng vô định \(\frac{0}{0}\). Tách giới hạn thành hai phần: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} + 5 - 4x}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{2 - x}} + \frac{{8 - 4x}}{{2 - x}}} \right)\).

Giới hạn thứ nhất:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {4x + 1} \right) - 9}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{ - \left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 1} + 3}} = \frac{{ - 4}}{{3 + 3}} = - \frac{2}{3}\).

Giới hạn thứ hai: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{8 - 4x}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4\left( {2 - x} \right)}}{{2 - x}} = 4\).

Do đó: \(\frac{a}{b} = - \frac{2}{3} + 4 = \frac{{10}}{3}\).

Phân số \(\frac{{10}}{3}\) là phân số tối giản với \(a = 10,b = 3 \in \mathbb{N}\).

Vậy \(a + b = 10 + 3 = 13\).

Đáp số:\(13\).