Giá trị điện trở \(X\) bằng bao nhiêu \(\Omega \) để công suất tỏa nhiệt trên \(X\) là lớn nhất?

Phương pháp giải:

Công suất tỏa nhiệt: \[P = {I^2}R.\]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \[a + b \ge 2\sqrt {ab} ,\] dấu ``='' xảy ra khi \(a = b\).

Giải chi tiết:

Cường độ dòng điện qua mạch: \[I = \frac{U}{{R + X}} = \frac{{12}}{{10 + X}}.\]

Công suất tỏa nhiệt trên điện trở \(X\): \[{P_X} = {I^2}X = {\left( {\frac{{12}}{{10 + X}}} \right)^2}X = \frac{{144X}}{{{{(X + 10)}^2}}}.\]

=> \[{P_X} = \frac{{144}}{{X + 20 + \frac{{100}}{X}}}.\]

Để \({P_X}\) lớn nhất thì mẫu số nhỏ nhất, tức là: \[X + 20 + \frac{{100}}{X}\quad {\rm{nh? nh?t}}.\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \[X + \frac{{100}}{X} \ge 2\sqrt {100} = 20,\] dấu ``='' xảy ra khi: \[X = \frac{{100}}{X} \Rightarrow X = 10.\]

Kết luận: \[X = 10{\mkern 1mu} \Omega .\]

Đáp án đúng: A.