Hướng dẫn giải:

a) \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6} + \pi } \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {2x + \frac{{5\pi }}{6}} \right)} \right]\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - 2x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ { - \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}; - \frac{{19}}{{12}} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\].

b) \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 5\sin x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \[\sin x = t\], vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \( - 1 \le t \le 1\). Khi đó, ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\,\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\t = 2\,\,\left( {{\rm{k}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}\].

c) \(3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin 2x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\sin x + \cos x} \right) + 4\sin x.\cos x + 3 = 0\)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\), ta có: \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\).

Vì \[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] nên \[ - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \], hay \( - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 \).

Lại có: \[\sin x + \cos x = t \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2}\]

\( \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó, phương trình\( \Leftrightarrow 3t + 4 \cdot \frac{{{t^2} - 1}}{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2t + 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{1}{2}\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - \frac{1}{2}\\\sin x = - 1\end{array} \right.\)

TH1: \[\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].

TH2: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k2\pi ; - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Giá trị của x để ba số 6 ; x ; 20 lập thành một cấp số cộng là