Giá trị của tổng 4 + 44 + 444 + ... + 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng

41/50

Giá trị của tổng \[4 + 44 + 444 + ... + 44...4\] (tổng đó có \[2018\] số hạng) bằng

\(\frac{{40}}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right) + 2018\).

\(\frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\).

\(\frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} + 2018} \right)\).

\(\frac{4}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\).

Giải thích

Chọn B

Đặt \[S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4\] (tổng đó có \[2018\] số hạng). Ta có:

\[\frac{9}{4}S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9\]\[ = \left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + ...\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\]

Suy ra: \[\frac{9}{4}S = \]\[\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}}} \right) - 2018 = \]\[A - 2018\].

Với \[A = 10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\] là tổng \[2018\] số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu \[{u_1} = 10\], công bội \[q = 10\] nên ta có \[A = {u_1}\frac{{1 - {q^{2018}}}}{{1 - q}}\]\[ = 10\frac{{1 - {{10}^{2018}}}}{{ - 9}}\]\[ = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9}\].

Do đó \[\frac{9}{4}S = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018\]\[ \Leftrightarrow S = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\].