Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn O A = O B (O là gốc tọa độ) là:

65/120

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) có hai điểm cực trị \(A,B\) thỏa mãn \(OA = OB\) (O là gốc tọa độ) là:

\(\frac{3}{2}\).

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{5}{2}\).

Giải thích

Tập xác định của hàm số là: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Xét \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\)\( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = 0}\\{x - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = m\).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = m - 4\).

Do đó, đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là \(A\left( {0;m} \right),B\left( {2;m - 4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {0;m} \right) \Rightarrow OA = \sqrt {{m^2}} \);\(\overrightarrow {OB} = \left( {2;m - 4} \right) \Rightarrow OB = \sqrt {4 + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \).

Để \(OA = OB \Leftrightarrow \sqrt {{m^2}} = \sqrt {4 + {{\left( {m - 4} \right)}^2}} \)\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {\left( {m - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {m^2} - 8m + 16\)\( \Leftrightarrow 8m = 20\)\( \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\). Chọn D.