Giá trị của sin(d, (P)) bằng

8/10

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z – 6 = 0. Giá trị của sin(d, (P)) bằng

\(\frac{{4\sqrt 6 }}{7}\);

\(\frac{{\sqrt 6 }}{{42}}\);

\(\frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\);

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\).