a) Với \(n\) là số nguyên, \(A = \frac{{2n + 3}}{{3n - 2}}\) là số nguyên khi \[\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 2} \right)\] nên \[3\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 2} \right).\]

Suy ra \[\left[ {2\left( {3n - 2} \right) + 13} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {3n - 2} \right).\]

Do đó \(3n - 2 \in \)Ư\(\left( {13} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,13;\,\, - 13} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

\[3n - 2\]	1	\[ - 1\]	13	\[ - 13\]
\[n\]	1	\( - \frac{1}{3}\)	5	\( - \frac{{11}}{3}\)
\(A\)	5		1
Kết luận	Thỏa mãn	Loại	Thỏa mãn	Loại

Vậy với \[n \in \left\{ {1;\,\,5} \right\}\] thì \[A\] nguyên.

b) Đặt \(B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,019}}.\)

Suy ra \(2B = {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,020}}.\)

Do đó:

\(2B - B = \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,020}}} \right) - \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,019}}} \right)\)Hay \(B = {2^{2\,\,020}} - 2.\)

Theo bài, \({\left( {x - 2} \right)^4} = 4 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2019}}\)

Suy ra \({\left( {x - 2} \right)^4} = {2^{2020}}\) nên \(x - 2 = {2^{505}}\) hoặc \(x - 2 = - {2^{505}}\)

Do đó \(x = {2^{505}} + 2\) hoặc \(x = - {2^{505}} + 2.\)

Giá trị của căn 9 là: