Giá trị của biểu thức S = m 2 + n 2 là:

62/120

Cho \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 = a,{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 = b\), biết \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{24}}15 = \frac{{ma + ab}}{{n + ab}}\), với \(m,\,n \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(S = {m^2} + {n^2}\) là:

\(S = 2\).

\(S = 10\).

\(S = 5\).

\(S = 13\).

Giải thích

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3}} = \frac{1}{{ab}};\,\,{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} = \frac{1}{a}.\)

Do đó \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{24}}15 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{24}}3 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{24}}5 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}24}} + \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}24}} = \frac{1}{{1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}8}} + \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}8}}\).

\( = \frac{1}{{1 + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}2}} + \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 + 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2}} = \frac{1}{{1 + \frac{3}{{ab}}}} + \frac{1}{{b + \frac{3}{a}}} = \frac{{ab + a}}{{ab + 3}}\)\( \Rightarrow m = 1,n = 3 \Rightarrow S = 10\). Chọn B.