GIá trị của A = 1 / 1!.2018! + 1 / 2!.2017! + 1 / 3!.2016! + ... + 1 / 1008!.1011! + 1 / 1009!.1010! bằng
Giải thích
Đáp án D.
Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)
Bài toán tổng quát:
Cho
A=11!.2n!+12!.2n−1!+13!.2n−2!+...+1n−1!.2n!+1n!.n+1!
Cho
A=11!.2n!+12!.2n−1!+13!.2n−2!+...+1n−1!.2n!+1n!.n+1!
Giá trị của A là:
A. 22n−1−12n!.
B. 22n−12n!.
C. 22n2n+1!.
D. 22n−12n+1!.
Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có:
A=11!.4!+12!.3!=18.
Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:
24−15!=18.
Cách 2 (Làm tự luận)
Ta có:
A=∑k=110091k!.2019−k!⇒2019!.A=∑k=110092019!k!.2019−k!=∑k=11009C2019k
Chú ý rằng: C2019k=C20192019−k
nên ∑k=11009C2019k=∑k=10102018C2019k
Ngoài ra 1+12019=∑k=02019C2019k=22019
⇒∑k=11009C2019k=12∑k=12018C2019k=12∑k=02019C2019k−2=1222019−2=22018−1.
Do đó A=22018−12019!.