Giả sử m là số thực sao cho phương trình

11/35

Giả sử m là số thực sao cho phương trình \[log_3^2x - (m + 2)lo{g_3}x + 3m - 2 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] phân biệt thỏa mãn \[{x_1}.{x_2} = 9\].

Khi đó m thỏa mãn tính chất nào sau đây?

\[m \in \left( {3;4} \right)\]

\[m \in \left( {4;6} \right)\]

\[m \in \left( { - 1;1} \right)\]

\[m \in \left( {1;3} \right)\]

Giải thích

Đặt \[t = {\log _3}x\] suy ra phương trình trở thành\[{t^2} - (m + 2)t + 3m - 2 = 0\left( * \right)\]

Để phương trình có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\] thì (*) cũng có hai nghiệm \[{t_1};{t_2}\] .

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \[{t_1};{t_2}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4(3m - 2) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 6}\\{m < 2}\end{array}} \right.\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = {3^{{t_1}}}}\\{{x_2} = {3^{{t_2}}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = 9 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 2.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \[{t_1} + {t_2} = m + 2\]

\[ \Rightarrow m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0\]Suy ra \[m \in \left( { - 1;1} \right)\]

Đáp án cần chọn là: C