Giả sử x1.x2 là nghiệm của phương trình {x^2} - {m + 2} x + {m^2} + 1 = 0

107/235

Giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + {m^2} + 1 = 0\). Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2}\) bằng:

\(\frac{{95}}{9}\)

\( - \frac{1}{9}\)

Giải thích

Phương pháp giài

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm \( \Leftrightarrow {\rm{\Delta }} \ge 0\).
Áp dụng định lý Viet để tìm \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) theo \(m\).
Từ đó tính giá trị lớn nhất của \(P\).

Giải chi tiết

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì
\({\rm{\Delta }} = {(m + 2)^2} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{4}{3}\)Áp dụng hệ thức Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 2}\\{{x_1} \cdot {x_2} = {m^2} + 1}\end{array}\)
Khi đó: \(P = 4\left( {m + 2} \right) - \left( {{m^2} + 1} \right) = - {m^2} + 4m + 7\).
Xét hàm số \(P\left( m \right) = - {m^2} + 4m + 7,\forall m \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\) có hệ số \(a < 0\), hoành độ đỉnh \(x = 2\) nên \(P\left( m \right)\) đồng biến trên.

Đáp án cần chọn là: A