Giả sử x0 là nghiệm thực của phương trình 2021 · 2^(-cos x) = log cơ số pi của x^2021 + log cơ số x của pi^2021. Khẳng định nào sau đây là đúng?

80/100

Giả sử \({x_0}\) là nghiệm thực của phương trình \(2021 \cdot {2^{ - \cos x}} = {\log _\pi }{x^{2021}} + {\log _x}{\pi ^{2021}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

\({x_0} \in ( - 2\pi ;0)\)

\({x_0} \in (2\pi ;4\pi )\)

\({x_0} \in (0;2\pi )\)

\({x_0} \in (4\pi ;6\pi )\)

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Biến đổi phương trình và sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.

Lời giải chi tiết.

Với điều kiện \(0 < x \ne 1\), ta có:

\( - 1 \le - \cos x \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le {2^{ - \cos x}} \le 2 \Rightarrow 2021 \cdot {2^{ - \cos x}} \le 4042\).

Vì \(2021 \cdot {2^{ - \cos x}} > 0,\forall x\) nên vế phải \(2021 \cdot {\log _\pi }x + \frac{{2021}}{{{{\log }_\pi }x}} > 0,\forall x \in (0; + \infty ) \setminus \{ 1\} \Rightarrow {\log _\pi }x > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

\({\log _\pi }{x^{2021}} + {\log _x}{\pi ^{2021}} = 2021 \cdot {\log _\pi }x + \frac{{2021}}{{{{\log }_\pi }x}} \ge 2 \cdot 2021 = 4042\).

Do đó phương trình tương đương với hệ.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2021 \cdot {2^{ - \cos x}} = 4042}\\{{{\log }_\pi }{x^{2021}} + {{\log }_x}{\pi ^{2021}} = 4042}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{ - \cos x}} = 2}\\{{{\log }_\pi }x = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x = - 1}\\{x = \pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \pi \in (0;2\pi )\).