Giả sử {x_1},{x_2} là nghiệm của phương trình {x^2} - (m + 2)x + {m^2} + 1 = 0

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\).

Áp dụng định lý Viet để tìm \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) theo \(m\).

Từ đó tính giá trị lớn nhất của \(P\).

Lời giải

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì

\(\Delta = {(m + 2)^2} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{4}{3}.\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 2}\\{{x_1}.{x_2} = {m^2} + 1}\end{array}} \right.\)

Khi đó: \(P = 4(m + 2) - \left( {{m^2} + 1} \right) = - {m^2} + 4m + 7\).

Xét hàm số \(P(m) = - {m^2} + 4m + 7,\forall m \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\) có hệ số \(a < 0\), hoành độ đỉnh \(x = 2\) nên \(P(m)\) đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{4}{3}} \right] \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{_{\left[ {0;\frac{4}{3}} \right]}} P = P\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{95}}{9}\).