Giả sử trong một nhóm 80 người có 69 người không nhiễm bệnh và 11 người nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó

16/38

Giả sử trong một nhóm 80 người có 69 người không nhiễm bệnh và 11 người nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó. Biết rằng đối với người nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 0,9 ; còn đối với người không nhiễm bệnh, xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là 0,05 .

a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên.

b) Giả sử X là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính. Tính xác suất để X là người nhiễm bệnh.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét các biến cố:

A: "Người được chọn nhiễm bệnh";

\(B\) : "Người được chọn xét nghiệm có kết quả dương tính".

Khi đó, \({\rm{P}}(A) = \frac{{11}}{{80}};{\rm{P}}(\bar A) = \frac{{69}}{{80}};{\rm{P}}(B\mid A) = 0,9;{\rm{P}}(B\mid \bar A) = 0,05\).

Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:

Giả sử trong một nhóm 80 người có 69 người không nhiễm bệnh và 11 người nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm đó (ảnh 1)

b) Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất người X xét nghiệm có kết quả dương tính là:

\({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A) + {\rm{P}}(\bar A) \cdot {\rm{P}}(B\mid \bar A) = \frac{{11}}{{80}} \cdot 0,9 + \frac{{69}}{{80}} \cdot 0,05 = \frac{{267}}{{1600}}.\)

Theo công thức Bayes, ta có:

\({\rm{P}}(A\mid B) = \frac{{{\rm{P}}(A) \cdot {\rm{P}}(B\mid A)}}{{{\rm{P}}(B)}} = \frac{{\frac{{11}}{{80}} \cdot 0,9}}{{\frac{{267}}{{1600}}}} = \frac{{66}}{{89}}.\)

Vậy xác suất để X là người nhiễm bệnh, biết rằng X có kết quả xét nghiệm dương tính, là \(\frac{{66}}{{89}}\).