Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số P(t) = a b + e^-0,75t, trong đó thời gian t được tính bằng giờ và a

Đáp án: −30

Dễ thấy hàm số đồng biến (do tốc độ ban đầu \(P'(0) = 15 > 0\)), nên số lượng tế bào đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = 0\).

Do đó \(\alpha  = P(0) = 30\).

Mặt khác, tập giá trị của hàm số bị chặn trên bởi đường tiệm cận ngang khi \(t \to  + \infty \).

Ta có \(\beta  = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{a}{{b + {e^{ - 0,75t}}}} = \frac{a}{b}\).

Ta biến đổi đạo hàm \(P'(t)\) theo \(P(t)\) để tận dụng giả thiết tốc độ:

Từ hàm số ban đầu, ta suy ra \({e^{ - 0,75t}} = \frac{a}{{P(t)}} - b\).

Khi đó: \(P'(t) = \frac{{0,75.a.{e^{ - 0,75t}}}}{{{{(b + {e^{ - 0,75t}})}^2}}} = \frac{{0,75.a.\left( {\frac{a}{{P(t)}} - b} \right)}}{{{{\left( {\frac{a}{{P(t)}}} \right)}^2}}} = 0,75.P(t).\frac{{a - b.P(t)}}{a} = 0,75.P(t).\left( {1 - \frac{b}{a}P(t)} \right)\)

Vì \(\beta  = \frac{a}{b}\), ta có mối liên hệ: \(P'(t) = 0,75.P(t).\left( {1 - \frac{{P(t)}}{\beta }} \right)\).

Thay các giá trị tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) với \(P(0) = 30\) và \(P'(0) = 15\) vào hệ thức trên, ta được:

\(15 = 0,75.30.\left( {1 - \frac{{30}}{\beta }} \right) \Leftrightarrow 15 = 22,5.\left( {1 - \frac{{30}}{\beta }} \right) \Leftrightarrow 1 - \frac{{30}}{\beta } = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{30}}{\beta } = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \beta  = 90\).

Vậy \(2\alpha  - \beta  = 2.30 - 90 =  - 30\).