Giả sử rằng khi tăng t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ R'(t) = 650 - t^2 (triệu đồng/năm)

a)Đúng. Doanh thu sau 12 năm của máy\(A\)là

\(R\left( {12} \right) = \int\limits_0^{12} {R'\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^{12} {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} \) (triệu đồng).

b)Đúng. Chi phí vận hành và bảo trì của máy \(A\) là \(C\left( t \right) = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right){\rm{d}}t} \)\( = 48t + 4{t^3} + c\).

Chi phí ban đầu là 0, tức là \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow c = 0\). Do đó, \(C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).

Tổng chi phí trong 6 năm là \(C\left( 6 \right) = 48 \cdot 6 + 4 \cdot {6^3} = 1152\)(triệu đồng).

c)Sai. Ta có \[R\left( t \right) = \int {\left( {650 - 3{t^2}} \right){\rm{d}}t} = 650t - {t^3} + b\].

Từ lúc máy \(A\) bắt đầu hoạt động \(\left( {t = 0} \right)\) thì \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow b = 0\). Do đó, \(R\left( t \right) = 650t - {t^3}\).

Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra là \(P\left( t \right) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = \left( {650t - {t^3}} \right) - \left( {48t + 4{t^3}} \right) = 602t - 5{t^3}\).

Ta có \(P'\left( t \right) = 602 - 15{t^2} = 0 \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \,\,\,\left( {{\rm{do}}\,t \ge 0} \right)\).

Lập bảng biến thiên ta kết luận được lợi nhuận đạt cực đại tại \(t = \sqrt {\frac{{602}}{{15}}} \approx 6,33\) (năm) và sẽ bắt đầu giảm ngay sau đó nên tuổi thọ hữu ích không thể là 8 năm.

Lưu ý: Ta có thể xác định ngay \(P'\left( t \right) = R'\left( t \right) - C'\left( t \right) = 602 - 15{t^2}\) mà không cần xác định \(R\left( t \right)\).

d)Sai. Lợi nhuận do máy \(A\) tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là

\(\int\limits_0^{\sqrt {\frac{{602}}{{15}}} } {\left( { - 15{t^2} + 602} \right){\rm{d}}t} \)\( \approx 2542,5\) (triệu đồng).