Giả sử rằng khi được t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ R' (t) = 588 - 3(t^2) (triệu đồng/năm), thời điểm t = 0 tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động.

Lời giải

a) Đúng

Doanh thu \(R\left( t \right)\) được tính bằng tích phân của tốc độ doanh thu \(R'\left( t \right)\) theo thời gian. Do đó, doanh thu sau 10 năm (từ \(t = 0\) đến \(t = 10\)) là:

 \(R\left( {10} \right) = \int\limits_0^{10} {R'\left( t \right)dt} \) =\(\int\limits_0^{10} {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt} \).

b) Đúng

Tổng chi phí vận hành và bảo trì trong 6 năm là tích phân của chi phí biên \(C'\left( t \right)\) từ 0 đến 6: \[\int\limits_0^6 {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt}  = \left. {\left( {48t + 4{t^3}} \right)} \right|_0^6 = \left( {48 \times 6 + 4 \times {6^3}} \right) - 0 = 1152\] (triệu đồng).

c) Sai

Ta có doanh thu là \(R\left( t \right) = \int {R'\left( t \right)dt}  = \int {\left( {588 - 3{t^2}} \right)dt}  = 588t - {t^3} + {C_1}\)

Mà \(R\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0 \Rightarrow R\left( t \right) = 588t - {t^3}\).

Chi phí là \(C\left( t \right) = \int {C'\left( t \right)dt}  = \int {\left( {48 + 12{t^2}} \right)dt}  = 48t + 4{t^3} + C\).

Mà \(C\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow C\left( t \right) = 48t + 4{t^3}\).

Lợi nhuận \(L(t) = R\left( t \right) - C\left( t \right) = 588t - {t^3} - \left( {48t + 4{t^3}} \right)\).

Do đó \(L\left( t \right) \ge 0\)\[ \Leftrightarrow 588t - {t^3} \ge 48t + 4{t^3} \Leftrightarrow 5{t^2} \le 540 \Leftrightarrow {t^2} \le 36 \Rightarrow t \le 6\].

Do đó lợi nhuận bắt đầu giảm khi \(t > 6\).

Vậy tuổi thọ hữu ích của máy là 6 năm.

d) Sai

Lợi nhuận trong suốt tuổi thọ hữu ích (6 năm đầu) là

\(\int\limits_0^6 {\left[ {\left( {588 - 3{t^2}} \right) - \left( {48 + 12{t^2}} \right)} \right]} dt = \int\limits_0^6 {\left( {540 - 15{t^2}} \right)} dt = \left. {\left( {540t - 5{t^3}} \right)} \right|_0^6 = 2160\)(triệu đồng).