Giả sử quỹ đạo của Trái Đất là một đường elip (E) với mặt trời nằm tại tiêu điểm F1. Gọi F2 là tiêu điểm còn lại của elip (điểm đối xứng với mặt trời qua tâm quỹ đạo). Xét đại lượng P là tích
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Giả sử quỹ đạo của Trái Đất là một đường elip \(\left( E \right)\) với mặt trời nằm tại tiêu điểm \({F_1}\). Gọi \({F_2}\) là tiêu điểm còn lại của elip (điểm đối xứng với mặt trời qua tâm quỹ đạo). Xét đại lượng \(P\) là tích khoảng cách từ trái đất đến hai tiêu điểm là \({F_1}\) và \({F_2}\) tại một thời điểm bất kỳ. Hãy tìm sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P\) trong suốt một chu kỳ quay (Biết khoảng cách cận nhật là \(147\) triệu kilomet và viễn nhật là \(152\) triệu kilomet) 
Phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\)
Theo đề bài: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_{1\min }} = a - c = 147\\M{F_{1\max }} = a + c = 152\end{array} \right.\) (triệu kilomet) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 149,5\\c = 2,5\end{array} \right.\)
Đại lượng cần xét \(P = M{F_1}.M{F_2} = x.y\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2a\\P = x.y\end{array} \right.\)
Sử dụng tính chất:
· Tích của hai số có tổng không đổi sẽ lớn nhất khi hai số đó bằng nhau (\(x = y\)).
· Tích của hai số có tổng không đổi sẽ nhỏ nhất khi độ chênh lệch giữa hai số đó là lớn nhất.
Giá trị lớn nhất xảy ra khi \(M{F_1} = M{F_2} = a \Rightarrow {P_{\max }} = a.a = {a^2}\)
Hoặc giá trị lớn nhất xảy ra khi hiệu \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right|\) lớn nhất thì khi đó \(M{F_1} = a - c\) và \(M{F_2} = a + c\)
Khi đó \({P_{\min }} = \left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right) = {a^2} - {c^2}\)
Vậy sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là:
\(\Delta P = {a^2} - \left( {{a^2} - {c^2}} \right) = {c^2} = {2,5^2} = 6,25\)