Giả sử phương trình x^2−7x+1=0 có hai nghiệm là x1 và x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức A

Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 7\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_1} > 0;{x_2} > 0\)

Vì\({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 7{x_1} + 1 = 0\\x_2^2 - 7{x_2} + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 6{x_1} + 2 = {x_1} + 1\\x_2^2 - 6{x_2} + 2 = {x_2} + 1\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}A = \frac{1}{{\sqrt {x_1^2 - 6{x_1} + 2} }} + \frac{1}{{\sqrt {x_2^2 - 6{x_2} + 2} }}\\ = \frac{1}{{\sqrt {{x_1} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} }}{{\sqrt {{x_1} + 1} \sqrt {{x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {{{(\sqrt {{x_2} + 1} + \sqrt {{x_1} + 1} )}^2}} }}{{\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} }}\\ = \frac{{\sqrt {{x_2} + 1 + {x_1} + 1 + 2\sqrt {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1\,} \right)} } }}{{\sqrt {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} }}\\ = \frac{{\sqrt {7 + 2 + 2\sqrt {1 + 7 + 1} } }}{{\sqrt {1 + 7 + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\end{array}\]