Giả sử P là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B

20/235

Giả sử \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tính giá trị lớn nhất của \({\rm{sin}}\alpha \).

\(\frac{{4\sqrt 3 }}{{10}}\).

\(\frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).

\(\frac{{\sqrt {10} }}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải

Media VietJack

Ta giả sử cho điểm \(E\) bất kì thuộc mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) với \(B,E \in \left( P \right)\) sao cho \(\left( P \right) \bot \left( {SCD} \right)\).

Mà mặt khác ta thấy \(B \in \left( P \right),D \in \left( {SCD} \right)\) nên suy ra sin góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi góc cần tìm bằng với góc giữa \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Suy ra \(\cos \alpha = \sin \left( {BD;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{BD}} = \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{BD}} = \frac{{3a\sqrt 6 }}{4}.\frac{1}{{3a}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

Như vậy, \({\rm{sin}}\alpha = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}\).