Giả sử N(a;b) trên trục Ox sao cho tam giác NBC vuông cân tại N. Tính a + b.

Trả lời: 4

G là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B}\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3.\frac{{10}}{3} - 5 - 7\\{y_C} = 3.\frac{{17}}{3} - 8 - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 2\\{y_C} = 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(C\left( { - 2;3} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{5}{2}\\{y_I} = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};\frac{9}{2}} \right)\).

Ta có \(N \in Ox \Rightarrow N\left( {n;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BN}  = \left( {n - 7; - 6} \right);\overrightarrow {CN}  = \left( {n + 2; - 3} \right);\overrightarrow {CB}  = \left( {9;3} \right);\overrightarrow {IN}  = \left( {n - \frac{5}{2}; - \frac{9}{2}} \right)\).

\(\Delta NBC\) vuông cân tại \(N\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {CN}  = 0\\\overrightarrow {IN} .\overrightarrow {CB}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {n - 7} \right)\left( {n + 2} \right) + 18 = 0\\9\left( {n - \frac{5}{2}} \right) + 3.\left( { - \frac{9}{2}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{n^2} - 5n + 4 = 0\\n = 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow n = 4 \Rightarrow N\left( {4;0} \right)\).

Suy ra \(a = 4;b = 0\). Do đó \(a + b = 4\).