Giả sử \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện (n(n + 1) + 7\) không chia hết cho 7.

Giả sử tồn tại số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điểu kiện \(n(n + 1) + 7\) không chia hết cho 7 và \(4{n^3} - 5n - 1\) là số chính phương.

Ta có \(4{n^3} - 5n - 1 = (n + 1)\left( {4{n^2} - 4n - 1} \right)\)

Đặt UCLN \(\left( {n + 1;4{n^2} - 4n - 1} \right) = d\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n + 1 \vdots d}\\{4{n^2} - 4n - 1 \vdots d}\end{array}} \right.\)

Có \(4{n^2} - 4n - 1 = 4n(n + 1) - 8(n + 1) + 7 \vdots d \Rightarrow 7 \vdots d\)

Vì \(n(n + 1) + 7\) không chia hết cho 7 nên \(n(n + 1)\) không chia hết cho 7 , suy ra \(n + 1\)không chia hết cho 7 , suy ra \(d \ne 7 \Rightarrow d = 1\).

Do đó, \(n + 1\) và \(4{n^2} - 4n - 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau, mà tích của chúng là số chính phương suy ra \(n + 1\) và \(4{n^2} - 4n - 1\) là các số chính phương.

Suy ra \(4{n^2} - 4n - 1 = {a^2}(a \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow {(2n - 1)^2} - {a^2} = 2 \Leftrightarrow (2n - a - 1)(2n + a - 1) = 2\)

Vì \(2n - a - 1 \le 2n + a - 1\)

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2n - a - 1 = 1\\2n + a - 1 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2n - a - 1 =  - 2\\2n + a - 1 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n = \frac{5}{4}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}n =  - \frac{1}{2}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.,\]không thoả mãn \(n,\,a\) là các số tự nhiên.

Vậy giả sử là sai, ta có điều phải chứng minh.