Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn C B . Tại D , máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E
18/25
Giả sử một máy bay thương mại \(M\) đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ \(D\) đến \(E\) có hình chiếu trên mặt đất là đoạn \(CB.\) Tại \(D,\) máy bay bay cách mặt đất là \(9000\)m và tại \(E\) là \(12000\)m. Một ra đa được đặt trên mặt đất tại vị trí \(O\) cách \(C\) là \(20000\)m, cách \(B\) là \(16000\)m và \(\widehat {BOC} = 90^\circ .\) Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị: \(1000\)m) với \(O\) là vị trí đặt ra đa, \(B\) thuộc tia \(Oy,\)\(C\) thuộc tia \(Ox,\) khi đó ta có tọa độ các điểm như hình vẽ sau:
Tại \(D,\) máy bay cách ra đa \(29000\)m (làm tròn đến hàng nghìn theo đơn vị mét).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DE.\) Khi máy bay bay đến điểm \(I,\) máy bay cách mặt đất \(10500\)m.
Trên đoạn đường bay từ \(D\) đến \(E,\) máy bay sẽ đi qua điểm \(P\left( {16;3,2;9,6} \right)\).
Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay bay trong phạm vi theo dõi của ra đa (làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị mét) là \(22000\)m.
a) Sai. Ta có \(\overrightarrow {OD} = \left( {20\,;0\,;9} \right)\) và \(OD = \sqrt {{{20}^2} + {9^2}} = \sqrt {481} \)km \( \approx 22000\)m.
b) Đúng. Tọa độ trung điểm \(I\) của \(DE\) là \(\left( {10;8;\frac{{21}}{2}} \right).\)
Khi máy bay bay đến điểm \(I,\) máy bay cách mặt đất \(\frac{{21}}{2}\)km hay \(10500\)m.
c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {DE} = \left( { - 20;16;3} \right)\).
Đường thẳng \(DE\) đi qua điểm \(D\left( {20;0;9} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \overrightarrow {DE} = \left( { - 20\,;16\,;3} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20 - 20t\\y = 16t\\z = 9 + 3t\end{array} \right.,(t \in \mathbb{R}).\)
Thay tọa độ điểm \(P\left( {16;3,2;9,6} \right)\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(DE\) ta được
\(\left\{ \begin{array}{l}16 = 20 - 20t\\3,2 = 16t\\9,6 = 9 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0,2\\t = 0,2\\t = 0,2\end{array} \right.\). Như vậy \(P \in DE.\)
Do đó trên đoạn đường bay từ \(D\) đến \(E,\) máy bay sẽ đi qua điểm \(P\left( {16;3,2;9,6} \right)\).
d) Sai. Gọi \(H\left( {20 - 20t;16t;9 + 3t} \right) \in DE\) là hình chiếu của \(O\) trên \(DE.\)
Hai vectơ \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} = \left( {20 - 20t;16t;9 + 3t} \right)\\\overrightarrow {DE} = \left( { - 20;16;3} \right)\end{array} \right.\) vuông góc với nhau nên
\(\overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {DE} = 0 \Leftrightarrow - 20\left( {20 - 20t} \right) + 16 \cdot 16t + 3\left( {9 + 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{373}}{{665}}.\)
Khi đó \(\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{1168}}{{133}};\frac{{5968}}{{665}};\frac{{7104}}{{665}}} \right)\) và \(OH = \sqrt {{{\left( {\frac{{1168}}{{133}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5968}}{{665}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{7104}}{{665}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{180736}}{{665}}} = \frac{{16\sqrt {469490} }}{{665}}.\)
Khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay bay trong phạm vi theo dõi của ra đa là:
\(2\sqrt {{{20}^2} - O{H^2}} = 2\sqrt {{{20}^2} - \frac{{180736}}{{665}}} = \frac{{584\sqrt {665} }}{{665}} \approx 22600\)m.