Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = - 0,0006x + 9,4. Ở đây, P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị s

Lời giải

a) Lợi nhuận khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức

\(P\left( x \right) = \int {\left( { - 0,0006x + 9,4} \right)} \,{\rm{d}}x =  - 0,0003{x^2} + 9,4x + C\).

Do \(P\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Suy ra \(P\left( x \right) =  - 0,0003{x^2} + 9,4x\).

b) Lợi nhuận khi bán được \(40\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {40} \right) =  - 0,0003\,.\,{40^2} + 9,4\,.\,40 = 375,52\) (triệu đồng).

c) Lợi nhuận khi bán được \(45\) sản phẩm đầu tiên là

\(P\left( {45} \right) =  - 0,0003\,.\,{45^2} + 9,4\,.\,45 = 422,3925\) (triệu đồng).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(45\) đơn vị sản phẩm là

\(P\left( {45} \right) - P\left( {40} \right) = 422,3925 - 375,52 = 46,8725\) (triệu đồng).

d) Theo đề bài, sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(40\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm lớn hơn \(350\) triệu đồng, ta có

\(\begin{array}{l}P\left( a \right) - P\left( {40} \right) > 350\\ \Leftrightarrow \left( { - 0,0003{a^2} + 9,4a} \right) - 375,52 > 350\\ \Leftrightarrow  - 0,0003{a^2} + 9,4a - 725,52 > 0\\ \Rightarrow 77,37 < a < 31255,96\end{array}\)

Mà \(a \in \mathbb{N} \Rightarrow {a_{\min }} = 78\).