Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P ′ ( x ) = − 0 , 0008 x + 10 , 4 . Ở đây P ( x ) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán

a) Sai.

Hàm lợi nhuận \(P(x)\) là một nguyên hàm của hàm lợi nhuận biên \(P'(x)\).

Ta có: \(P(x) = \int {P'} (x)dx = \int {( - 0,0008x + 10,4)} dx =  - 0,0004{x^2} + 10,4x + C\).

Vì khi không bán được sản phẩm nào thì lợi nhuận bằng \(0\) nên \(P(0) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Suy ra \(P(x) =  - 0,0004{x^2} + 10,4x\).

b) Đúng. Lợi nhuận khi bán được 50 sản phẩm đầu tiên là:

\(\int_0^{50} {P'} (x)dx = P(50) - P(0) =  - {0,0004.50^2} + 10,4.50 =  - 1 + 520 = 519\) (triệu đồng).

c) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 55 đơn vị sản phẩm là:

\(\int_{50}^{55} {P'} (x)dx = P(55) - P(50) = ( - {0,0004.55^2} + 10,4.55) - 519 = 570,79 - 519 = 51,79\) (triệu đồng).

d) Sai. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên \(a\) đơn vị sản phẩm (với \(a \in {\mathbb{N}^*},a > 50\)) là:

\(P(a) - P(50) =  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\).

Theo giả thiết, sự thay đổi này lớn hơn 517 triệu đồng, ta có bất phương trình:

\( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\)

\( \Leftrightarrow  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 26000a + 2590000 < 0\)

\( \Leftrightarrow 100 < a < 25900\).

Vì \(a\) là số lượng đơn vị sản phẩm nên \(a\) phải là số nguyên. Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(a\) thỏa mãn điều kiện lớn hơn 100 là \(a = 101\).